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Álgebra A 62
2026
ESCAYOLA
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ÁLGEBRA A 62 UBA XXI
CÁTEDRA ESCAYOLA
7.
Dar una ecuación vectorial y una ecuación implícita para el plano que:
d) contiene al punto $(-1,2,2)$ y es ortogonal a la recta $L=\left\{X \in \mathbb{R}^{3}: X=\lambda(1,1,-1)+(-1,2,2), \lambda \in \mathbb{R}\right\}$.
d) contiene al punto $(-1,2,2)$ y es ortogonal a la recta $L=\left\{X \in \mathbb{R}^{3}: X=\lambda(1,1,-1)+(-1,2,2), \lambda \in \mathbb{R}\right\}$.
Respuesta
Como el plano $\Pi$ es ortogonal a la recta $L$, eso significa que el vector director de la recta $L$ es normal al plano $\Pi$.
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Consejo: Si no te resulta obvio, agarrá tu hoja ahora y graficá esto. Hacé un plano, una recta ortogonal a ese plano, dibujate también la normal al plano y marcá el vector director de la recta. Igual que como hacemos en las clases. Dibujar te ayuda un montón a visualizar estas cosas.
Asi que podemos usar el vector director de $L$, $(1,1,-1)$, como normal de $\Pi$.
$N = (1,1,-1)$
Y tenemos..
$x + y - z = d$
Pidiendo que el punto $(-1,2,2)$ pertenezca al plano, obtenemos $d = -1$
La ecuación implícita de $\Pi$ es entonces...
👉 $x + y - z = -1$
Ahora, para construirnos la ecuación vectorial, primero despejo una variable en función de las otras (yo voy a elegir despejar z)
$z = x + y + 1$
Por lo tanto, los puntos $(x,y,z)$ de $\mathbb{R}^3$ que cumplen la ecuación del plano son los de la forma...
$(x,y, x+y+1) = x \cdot (1,0,1) + y \cdot (0,1,1) + (0,0,1)$ con $x,y \in \mathbb{R}$
Con lo cual, una ecuación vectorial de este plano es...
$\Pi: \lambda \cdot (1,0,1) + \mu \cdot (0,1,1) + (0,0,1)$
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