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Álgebra A 62

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ÁLGEBRA A 62 UBA XXI
CÁTEDRA ESCAYOLA

Unidad 2

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7. Dar una ecuación vectorial y una ecuación implícita para el plano que:
d) contiene al punto $(-1,2,2)$ y es ortogonal a la recta $L=\left\{X \in \mathbb{R}^{3}: X=\lambda(1,1,-1)+(-1,2,2), \lambda \in \mathbb{R}\right\}$.

Respuesta

Como el plano $\Pi$ es ortogonal a la recta $L$, eso significa que el vector director de la recta $L$ es normal al plano $\Pi$. 

Consejo: Si no te resulta obvio, agarrá tu hoja ahora y graficá esto. Hacé un plano, una recta ortogonal a ese plano, dibujate también la normal al plano y marcá el vector director de la recta. Igual que como hacemos en las clases. Dibujar te ayuda un montón a visualizar estas cosas. 

Asi que podemos usar el vector director de $L$, $(1,1,-1)$, como normal de $\Pi$. 

$N = (1,1,-1)$ Y tenemos.. $x + y - z = d$ Pidiendo que el punto $(-1,2,2)$ pertenezca al plano, obtenemos $d = -1$ La ecuación implícita de $\Pi$ es entonces... 👉 $x + y - z = -1$

Ahora, para construirnos la ecuación vectorial, primero despejo una variable en función de las otras (yo voy a elegir despejar z)

$z = x + y + 1$

Por lo tanto, los puntos $(x,y,z)$ de $\mathbb{R}^3$ que cumplen la ecuación del plano son los de la forma...

$(x,y, x+y+1) = x \cdot (1,0,1) + y \cdot (0,1,1) + (0,0,1)$ con $x,y \in \mathbb{R}$

Con lo cual, una ecuación vectorial de este plano es...

$\Pi: \lambda \cdot (1,0,1) + \mu \cdot (0,1,1) + (0,0,1)$ 
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Avatar Victoria 22 de abril 16:02
Hola Flor! Como estas? No me está saliendo llevar esta ecuacion:
-2X + 4Y -2Z + 10 a vectorial/parametrica

Despejo: X = 5 + 2y + Z
Armo el punto: (5 + 2y + Z, Y, Z)
Armo la ecuacion: Y(2, 1, 0) + Z(1, 0,1) + (5, 0, 0)

Y no me da: a(1, 2, 3)+ b(1, 0, -1) + (0, -2, 1)

En el ejemplo que tenía que hicimos acá en algún momento, pasamos de a(1, 2, 3)+ b(1, 0, -1) + (0, -2, 1) a -2X + 4Y -2Z + 10. Pero no me está saliendo al reves :c

Avatar Flor Profesor 23 de abril 10:27
@Victoria Tenés un error de cuenta cuando despejaste $x$, te queda

$x = 5 + 2y - z$ (no +z) 

Fijate que si te la armas asi llegas a una ecuación paramétrica que describe al mismo plano que $-2x + 4y -2z + 10 = 0$

Por las dudas, acordate que al igual que nos pasa con ecuación paramétrica de una recta, dos ecuaciones paramétricas de un plano se puede ver muuuy distintas, pero describen al mismo plano eh, graficalos en GeoGebra para chequear que son el mismo ;)
Avatar Victoria 23 de abril 10:33
@Flor aah mirá vos, gracias Flor!

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